Question

已知：sinα+cosα=m，求证：sinα和cosα是关于x的方程2x²-2mx+m²-1的实数根．

Answer 1

考点：根与系数的关系,同角三角函数的关系

专题：证明题

分析：把sinα+cosα=m两边平方得到sin²α+2sinα•cosα+cos²α=m²，根据同角三角函数的关系得1+2sinα•cosα=m²，所以sinα•cosα=

m2-1

2

，加上sinα+cosα=m，于是可根据根与系数的关系判断sinα和cosα是关于x的方程2x²-2mx+m²-1的实数根．

解答：证明：∵sinα+cosα=m，
∴（sinα+cosα）²=m²，
∴sin²α+2sinα•cosα+cos²α=m²，
∴1+2sinα•cosα=m²，
∴sinα•cosα=

m2-1

2

，
而sinα+cosα=m，
∴sinα和cosα是关于x的方程2x²-2mx+m²-1的实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了同角三角函数的关系．