Question

10．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC，垂足为F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED的度数．

Answer 1

分析 由DE=2AB，可作辅助线：取DE中点M，连接AM，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADM，△AME，△AMB是等腰三角形，想办法证明∠ABE=2∠DBC，即可解决问题．

解答 解：如图，取DE的中点M，连接AM．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADM，
∵AF⊥BC，
∴AD⊥AF，
∴∠EAD=90°，
∵EM=DM，
∴AM=DM=EM，
∵DE=2AB，
∴AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB=∠MAD+∠ADM，
∵MA=MD，
∴∠ADM=∠MAD=∠DBC，
∴∠ABM=∠AMB=2∠ADM=2∠DBC，
∴3∠DBC=75°，
∴∠DBC=25°，
∵∠EFB=90°，
∴∠AED=∠FEB=90°-∠EBF=65°．

点评 此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）以及等腰三角形的性质（等边对等角），解题的关键是注意方程思想的应用．