Question

已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=4，tan∠CBD=

1

2

．求：
（1）边AB的长；
（2）∠ABE的正弦值．

Answer 1

考点：菱形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=

1

2

BD=2，又由tan∠CBD=

1

2

，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；
（2）由AE⊥BC，利用S_菱形ABCD=BC•AE=

1

2

BD•AC，即可求得AE的长，继而求得∠ABE的正弦值．

解答：解：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=

1

2

BD=2，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD=

OC

OB

=

1

2

，
∴OC=1，
∴AB=BC=

BO2+OC2

=

5

；

（2）∵AE⊥BC，
∴S_菱形ABCD=BC•AE=

1

2

BD•AC，
∵AC=2OC=2，
∴

5

AE=

1

2

×2×4，
∴AE=

4 5

5

，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

4

5

．

点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．