Question

如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O．
（1）若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系，并证明你的结论；
（2）若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论？试说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：探究型

分析：（1）由AB=AC，AD=AE可得BE=CD，由DB⊥AC，CE⊥AB可得∠BEO=∠CDO=90°，于是可根据“AAS”判断△BEO≌△CDO，所以OE=OD
（2）先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE得到∠B=∠C，然后根据“AAS”判断△BEO≌△CDO，所以OE=OD．

解答：解：（1）OE=OD．理由如下：
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD，
∵DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
在△BEO和△CDO中，

∠BOE=∠COD ∠BEO=∠CDO BE=CD

，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE=OD
（2）若没有第（1）中的条件，仍然有OE=OD．理由如下：
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠A=∠A AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C，
在△BEO和△CDO中，

∠BOE=∠COD ∠B=∠C BE=CD

，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE=OD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．