Question

4．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：
①b²-4ac＞0；②abc＞0；③m＞3；④-$\frac{b}{2a}$＞0．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b²-4ac＞0，据此判断即可．
②：首先根据抛物线开口向下，可得a＜0，然后根据对称轴在y轴的右边，可得b＞0，最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，所以abc＜0．
③：根据y=ax²+bx+c（a≠0）的最大值是y=3，关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，可得m＞3，据此判断即可．
④：根据抛物线对称轴在y轴的右边，可得-$\frac{b}{2a}$＞0，据此判断即可．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b²-4ac＞0，
∴结论①正确；

∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴结论②不正确；

∵y=ax²+bx+c（a≠0）的最大值是y=3，关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，
∴m＞3，
∴结论③正确；

∵抛物线对称轴在y轴的右边，
∴-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴结论④正确．
∴正确的结论有3个：①③④．
故选：B．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．