题目内容
【题目】在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c (a≠O)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(-4，O)，抛物线的对称轴是直线x=-3，且经过A、C两点的直线为y=kx+4.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将直线AC向下平移m个单位长度后，得到的直线l与抛物线只有一个交点D，求m的值；
(3)抛物线上是否存在点Q，使点Q到直线AC的距离为
？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
， 
， 
.
【解析】试题分析：（1）由经过A、C两点直线为y=kx+4，且点C在y轴上，确定出点C坐标，根据抛物线的对称性确定出B点坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）根据点A的坐标确定出直线AC的解析式，根据平移设平移后的解析式为y=x+4-m ，与
联立组成方程组，根据只有一个交点，利用根据的判别式即可求得m的值；
（3）由AC：y=x+4可知到直线AC距离为
的点在直线y=x+3或直线y=x+5上，分情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵经过
、
两点直线为
，且点
在
轴上，
∴C（0，4），
∵抛物线的对称轴是直线
，A（-4，0），
∴B（-2，0），
∴设抛物线的解析式为： 
，
∵抛物线经过点
（0，4），
∴
，
解得： 
，
∴抛物线的函数表达式为
；
（2）将
代入
，
得 
，
解得
，
∴直线
的函数表达式为
，
∵直线
是由直线
向下平移
个单位得到的，
∴设直线
的解析式为
，
∵直线
与抛物线相交，
∴
，
∵只有一个交点，
∴
，
即： 
，
∴m=2；
（3）由AC：y=x+4可知到直线AC距离为
的点在直线y=x+3或直线y=x+5上，
解方程组
或
，
得
或
，
所以Q点坐标为： 
或
或
或
.
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