Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为边AC的中点，

（1）如图1，过点E作EH⊥BC,垂足为点H，求线段CH的长；

（2）作线段BE的垂直平分线分别交边BC、BE、AB于点D、O、F.

①如图2，当∠BAC=90°时，求BD的长；

②如图3，设tan∠ACB=x，BD=y，求y与x之间的函数表达式和tan∠ACB的最大值.

Answer 1

【答案】（1）3（2）5（3）①②

【解析】试题分析：（1）点A作AG⊥BC交BC于点G，则EH∥AG，由等腰三角形的性质得CG=6,再由E为AC中点可得H为CG的中点.

（2）①过点E作于点H，设，在Rt△EDH中可得，解方程求出x的值；由 ，可得， ，在中，根据勾股定理列出关系式，然后整理可得y与x之间的函数表达式；求tan∠ACB的最大值有两种方法一是利用正切的增减性，二是利用数形结合.

解：（1）点A作AG⊥BC交BC于点G.

∵，

∴，

∵E为AC中点，EH∥AG，

∴H为CG的中点，∴CH=3，

⑵①过点E作于点H，

∵△ABC是等腰直角三角形，则CH=EH=3，

设，则， ，

Rt△EDH中， ，

解之得， ，

即BD=5，

②∵ ，

∴， ，

在中，

，

∴，

方法一：由得， ，

当y有最大值时，x有最大值.即tan∠ACB有最大值.

∴当y=12时， ， （负的舍去），

∴tan∠ACB最大值为，

或方法二：当点D与点C重合时，tan∠ACB最大，

，

.

BC边的高为，

此时tan∠ACB=.