Question

7．如图，正方形ABCD，顶点B在直线MN上，AE⊥MN，CF⊥MN，垂足分别为E、F且AE=1，CF=2．求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 由四边形ABCD为正方形，得到AB=BC，∠ABC为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形BCF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=BF=1，EB=CF=2，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB²，即为正方形的面积．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵AE⊥EB，CF⊥FB，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
在△AEB和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{∠AEB=∠BFC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF=1，EB=CF=2，
在Rt△AEB中，根据勾股定理得：AB²=1+4=5，
则正方形ABCD的面积为5．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．