Question

17．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=150°，点A到BC的距离为1，与AB重合的一条射线AP，从AB开始，以每秒15°的速度绕点A逆时针匀速旋转，到达AC后立即以相同的速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程，设AP与BC边的交点为M，旋转2019秒时，BM=2，CM=2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 解：过A作AD⊥BC于D，则AD=1，根据已知条件得到AP从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转10秒到达AC后再经过10秒返回AB，而2019=100×20+19=100×20+10+9，于是得到当旋转2019秒时，AP从AB绕点A逆时针匀速旋转了9秒，求得∠CAP=15°×9=135°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过A作AD⊥BC于D，则AD=1，
∵150=10×15，即AP从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转10秒到达AC后再经过10秒返回AB，
而2019=100×20+19=100×20+10+9，
∴当旋转2019秒时，AP从AB绕点A逆时针匀速旋转了9秒，
∴此时CAP=15°×9=135°，
∴∠BAP=150°-135°=15°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°，
∴AM=BM，∠AMD=∠B+∠BAP=30°，
∴BM=AM=2AD=2，MD=$\sqrt{3}$，
∴CD=BD=2+$\sqrt{3}$，
∴CM=2+2$\sqrt{3}$，
故答案为：2，2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是确定旋转2019秒时AP与AB的夹角．