Question

12．如图1，在△ABC汇总，∠ACB=2∠B，射线AO平分∠BAC交BC于点D，点M是直线BC上的动点，过点M作直线l⊥AO于H，分别交射线AB、AC于点N、E．
（1）若∠BAC=90°，且当M与点C重合时（如图2），请直接写出线段BN与CD的数量关系；
（2）若∠BAC≠90°，且当M与点C重合时（如图3），判断（1）题的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）在直线l随点M运动的过程中，探究线段BN、CE、CD之间的等量关系，并直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）连接ND，先由已知条件证明：DN=DC，再证明BN=DN即可；
（2）连结ND，易证AN=AC，易证∠B=∠BDN，可得BN=DN，即可解题；
（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时．

解答 解：（1）证明：如图2，连结ND，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（2）证明：如图3，连结ND，
，∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（3）解：如图4，BN、CE、CD之间的等量关系：
①过C作CG∥AB，CN′∥GN，
∴四边形NN′CG是平行四边形，
∴NN′=CG，
∴∠BNM=∠CGM，
∴∠ANM=∠CGE，∵∠ANM=∠E，
∴∠CGE=∠E，
∴CG=CE，
∴NN′=CE，
在△ANH与△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHE=90°}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴AN=AE，
由（1）证得：BN′=CD，
∴CD=BN+CE，
②当点M在BC的延长线上时，过C作CG∥AB，CN′∥GN，
∴四边形NN′CG是平行四边形，
∴NN′=CG，
∴∠BNM=∠CGM，
∴∠ANM=∠CGE，
∵∠ANM=∠E，
∴∠CGE=∠E，
∴CG=CE，
∴NN′=CE，
在△ANH与△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHE=90°}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴AN=AE，
由（1）证得：BN′=CD，
∴CD=BN-CE；
③当点M在CB的延长线上时，过C作CG∥AB，CN′∥GN，
∴四边形NN′CG是平行四边形，
∴NN′=CG，
∴∠BNM=∠CGM，
∴∠ANM=∠CGE，
∵∠ANM=∠E，
∴∠CGE=∠E，
∴CG=CE，
∴NN′=CE，
在△ANH与△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NAH=∠EAH}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHE=90°}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴AN=AE，
由（1）证得：BN′=CD，
∴CD=CE-BN．

点评 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中证得AH垂直平分NE是解题的关键．