Question

15．抛物线L：y=a（x-x₁）（x-x₂）（常数a≠0）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交于点C，且x₁•x₂＜0，AB=4，当直线l：y=-3x+t+2（常数t＞0）同时经过点A，C时，t=1．
（1）点C的坐标是（0，3）；
（2）求点A，B的坐标及L的顶点坐标；
（3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L的大致图象；
（4）将L向右平移t个单位长度，平移后y随x的增大而增大部分的图象记为G，若直线l与G有公共点，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把t=1代入y=-3x+t+2，令x=0，求得相应的y值，即可得到点C的坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据描点法，可得函数图象；
（3）根据平移规律，可得G的解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案．

解答 解：（1）直线的解析式为y=-3x+3，
当x=0时，y=3，即C点坐标为（0，3），
故答案为：（0，3），

（2）当y=0时，-3x+3=0，解得x₁=1，即A（1，0），
由点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁•x₂＜0，AB=4，
得1-x₂=4，解得x₂=-3，即B（-3，0）；
L：y=a（x-1）（x+3），将C（0，3）坐标代入L，得a=-1，
∴L的解析式为y=-（x-1）（x+3），
即y=-（x+1）²+4
∴L的顶点坐标为（-1，4）；

（3）函数图象如图
；
（4）L向右平移t个单位的解析式为y=-（x+1-t）²+4，
a=-1＜0，当x≥t-1时，y随x的增大而增大．
若直线l与G有公共点时，则有当x=-1+t时，G在直线l的上方，
即-（t-1+1-t）²+4≥-3（t-1）+t+2，
解得t≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解（2）的关键是待定系数法；解（3）的关键是描点法，解（4）的关键是利用函数值的大小得出不等式，还利用了函数图象平移的规律．