题目内容
5．正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以$\sqrt{2}$cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
分析 （1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据勾股定理得到BD=6$\sqrt{2}$，由题意得，DM=t，BE=$\sqrt{2}$t，求得AM=6-t，DE=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF=$\frac{12}{6-t}$，由①求得BF=$\frac{6t}{6-t}$，得方程$\frac{6t}{6-t}$=$\frac{12}{6-t}$，于是得到结论．
解答 解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵MN⊥AF，
∴∠AHM=90°，
∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，
∴∠BAF=∠AMH，
在△AMN与△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMN=∠BAF}\\{AM=AB}\\{∠MAN=∠BAF}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△ABF，
∴AF=MN；
（2）①∵AB=AD=6，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
由题意得，DM=t，BE=$\sqrt{2}$t，
∴AM=6-t，DE=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{DE}{BE}$，即$\frac{6}{y}=\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{\sqrt{2}t}$，
∴y=$\frac{6t}{6-t}$；
②∵BN=2AN，
∴AN=2，BN=4，
由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，
∴△ABF∽△AMN，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{BF}$，即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2}{BF}$，
∴BF=$\frac{12}{6-t}$，
由①求得BF=$\frac{6t}{6-t}$，
∴$\frac{6t}{6-t}$=$\frac{12}{6-t}$，
∴t=2，
∴BF=3，
∴FN=$\sqrt{B{F}^{2}+B{N}^{2}}$=5cm．
点评 本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点的综合应用．
抛物线L：y=a（x-x1）（x-x2）（常数a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且x1•x2＜0，AB=4，当直线l：y=-3x+t+2（常数t＞0）同时经过点A，C时，t=1．
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（2，4），则点D的坐标为（ ）| A． | （$\frac{22}{3}$，0） | B． | （$\frac{15}{2}$，0） | C． | （$\frac{68}{9}$，0） | D． | （$\frac{48}{5}$，0） |
| A． | 1 | B． | 2 | C． | -1 | D． | -2 |
| A． | a | B． | -a5 | C． | a6 | D． | a5 |
| A． | 数据1，2，3，2，5的中位数是3 | |
| B． | 对我市某社区每天丢弃塑料袋数量的调查，应采用普查的方式 | |
| C． | 在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 | |
| D． | 若甲组数据的方差是0.15，乙组数据的方差是0.21，则乙组数据比甲组数据稳定 |
| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 9 |
