Question

已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
（1）如图1，设⊙O的半径是r，若

AB

+

CD

=πr，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN=EF．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接AO，BO，CO，DO设∠AOB=m°，∠DOC=n°，利用

AB

+

CD

=πr，得出m+n=180，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠APD=90°，即可得出AC⊥BD；
（2）由DH⊥BC，AE⊥BC，可得出DF∥AE，进而得出∠AEF+∠DFE=180°结合四边形ABCD内接于⊙O，可得出∠AEF=∠DAE，从而得出四边形DAEF为等腰梯形，得出AD=EF，再由角的关系得出AD=AM，PD=PM，易证△NDP≌△AMP，得出ND=AM，所以四边形AMND是平行四边形，再由MN=AD，即可得出MN=EF．

解答：证明：（1）如图1，连接AO，BO，CO，DO设∠AOB=m°，∠DOC=n°，

∵

AB

+

CD

=πr，
∴

mπr

180

+

nπr

180

=πr，
∴m+n=180，
∴2∠ADB+2∠DAC=180°
∴∠ADB+∠DAC=90°，
∴∠APD=90°，
∴AC⊥BD，
（2）如图2，

∵DH⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∴∠AEF+∠DFE=180°
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAE+∠DFE=180°，
∴∠AEF=∠DAE，
∴四边形DAEF为等腰梯形，
∴AD=EF，
∵AC⊥BD，
∴∠PAM+∠AMP=90°，
AG⊥BC，
∴∠PAM+∠ACB=90°，
∴∠AMP=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠AMP，
∴AD=AM，
∴PD=PM，
∵DF∥AE，
∴∠AMP=∠NDP
∴△NDP≌△AMP，
∴ND=AM，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴MN=AD，
∴MN=EF．

点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及圆周角，平行四边形的判定及全等三角形的判定，解题的关键是理解题意求出四边形AMND是平行四边形．