Question

【题目】如图，是⊙的直径，是⊙的弦，点是延长线的一点，平分交⊙于点，过点作，垂足为点

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，求⊙的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2.5

【解析】

（1）连接CO，易得∠OCA=∠OAC，由AC平分∠FAB，得∠CAE=∠OAC，从而得∠OCA=∠CAE，，进而即可得OC∥FD，即可得到结论；

（2）连接BC，由勾股定理得AC=，易得△ABC∽△ACE，从而得，进而即可求解．

（1）连接CO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠CAE=∠OAC，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥FD，

∵CE⊥DF，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）连接BC，

在Rt△ACE中，AC=，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCA=∠CEA，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△ABC∽△ACE，

∴，

∴，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．