Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-bx-3a交x轴于B、C两点，交y轴正半轴于点A，直线y=-x+3经过A、C两点．点P是射线CA上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段CA上时，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交第一象限抛物线于点Q，交x轴于点H，设线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）当点P在线段CA延长线上时，连接BP，取BP中点M，连接MA并延长交抛物线于点R，当AM=AR时，求R点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，C的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先表示出点P的坐标，再表示出点Q坐标，即可得出函数关系式；
（3）设出点P坐标，利用中点坐标得出点M坐标，进而求出点R坐标，代入抛物线解析式即可求出t，得出R坐标．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3经过A、C两点，
∴A（0，3），C（3，0），
∵抛物线y=ax²-bx-3a交x轴于B、C两点，交y轴正半轴于点A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3a=3}\\{9a-3b-3a=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式y=-x²+2x+3，
（2）如图1，

∵点P在线段CA上时，P点的横坐标为t，
∴P（t，-t+3），（0＜t＜3）
∵过点P向x轴做垂线交第一象限抛物线于点Q，
∴Q（t，-t²+2t+3），
∴d=PQ=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，
（3）如图2，

∵P（t，-t+3），（t＞3），B（-1，0），
而M是PB中点，
∴M（$\frac{t-1}{2}$，$\frac{-t+3}{2}$），
∵AM=AR，
∴R（$\frac{1-t}{2}$，$\frac{t+9}{2}$），
∵点R在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-（$\frac{1-t}{2}$）²+2（$\frac{1-t}{2}$）+3=$\frac{t+9}{2}$
∴t=-1或t=-3
∴R（1，4）或（2，3）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，中点坐标，解本题的过点是确定出抛物线解析式．