Question

7．已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB于D．
（1）按要求补全图1，若点E是线段CD上任意一点（不与端点重合），①过点E作EF⊥CD交AC于F；②连接BF；③取BF中点G，连接EG；
（2）判断（1）中EG与BC的位置关系并证明；
（3）将（1）中的△CEF绕点C旋转到如图2的位置，其它条件不变，判断EG与AF的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）补全的图如图1所示．
（2）如图1中，结论：EG∥BC．延长FE交BC于H．只要证明FE=EH，即可利用三角形中位线定理证明．
（3）结论：AF=2EG．延长FE到H，使得EH=EF，连接CH、BH．首先证明BH=2EG，再证明△ACF≌△BCH，推出AF=BH即可解决问题．

解答 解：（1）补全的图如图1所示．

（2）如图1中，结论：EG∥BC．
理由：延长FE交BC于H．
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵EF⊥CD，
∴∠CEF=∠CEH=90°，
∴∠CFH=∠CHF=45°，
∴CF=CH，∵CE⊥FH，
∴EF=EH，∵FG=GB，
∴EG∥BH，
∴EG∥BC．

（3）结论：AF=2EG．理由如下：
如图2中，延长FE到H，使得EH=EF，连接CH、BH．

∵EF=EH，FG=GB，
∴BH=2EG，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=EF=EH，CE⊥FH，
∴CF=CH，∠FCH=∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠BCH，
在△ACF和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACF=∠BCH}\\{CF=CH}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCH，
∴AF=BH，∵BH=2EG，
∴AF=2EG．

点评 本题考查三角形综合题、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．