Question

在等腰△ABC中，AB=AC，边BC的中点为D．
（1）画图：作一个等边△DEF，使顶点E、F分别在边AB和AC上；
（2）你所作的等边△DEF的边EF与BC平行吗？理由是什么？
（3）是否可能作一个等边△DEF，使它的边EF与BC不平行？如有可能，指出∠A的度数；如不可能，说出理由．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,等腰三角形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）以D为等边三角形DEF的中点，作∠DEF=60，并且使DE=DF即可；
（2）EF与BC平行，根据等腰三角形和等边三角形的轴对称性即可证明；
（3）若∠BDE≠∠CDF时，等边三角形DEF的边EF与BC不平行，此时∠A=120°．

解答：解：（1）如图所示：

（2）等边△DEF的边EF与BC平行，因为等边三角形DEF是轴对称图形，它的对称轴与三角形ABC的对称轴都是AD，EF与BC都垂直于AD．
（3）若∠BDE≠∠CDF时，等边三角形DEF的边EF与BC不平行，此时∠A=120°，

过D作DG⊥AB于G，在BA上依次取E，H两点，使GE=GH，连结AD，
则DE=DH，∠DEG=∠DHG，过H作HF∥BC交AC于F，显然EF与BC不平行；
∵AB=AC，
∴AH=AF，
在△AHD和△AFD中，

AH=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AHD≌△AFD（SAS），
∴DF=DH=DE，∠AFD=∠AHD，
又∵∠DHG+∠AHD=180°，
∴∠DEG+∠AFD=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴当∠BAC=120°时，∠EDF=60°，△DEF为等边三角形
即可作出等边三角形DEF，使边EF与BC不平行，此时∠A=120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AHD≌△AFD是解题的关键．