Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若∠A=60°，AB=8，AD=4，求BD的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据平行四边的性质，可得AB与CD的关系，根据线段中点的性质，可得DF与DC，AE与AB的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
（2）根据锐角三角函数，可得AG、DG的长，再根据线段的和差，可得BG的长，根据勾股定理，可得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD．
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=

1

2

AB，DF=

1

2

CD．
∴AE=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，，
在Rt△AGD中，
∵∠AGD=90°，∠A=60°，
AD=4，
∴AG=ADcos60°=2，
DG=ADsin60°=2

3

∵AB=8，
∴BG=AB-AG=6．
在Rt△DGB中，
∠DGB=90°，DG=2

3

，BG=6，
∴DB=

DG2+BG2

=

12+36

=4

3

．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，勾股定理，题目较简单．