如图(1)已知点A(2$\sqrt{3}$.2$\sqrt{3}$)．过点A作x轴的垂线交直线y=-x于点C.若点P是直线y=-x上的一个动点.∠APB=30°.BA⊥PA．(1)当点P与点O重合时.如图(2)所示.求直线AB的函数解析式．(2)在点P的运动过程中.点B也随之运动.求线段OB的最小值．(3)点Q是坐标平面内的任意一点.请探索:是否存在这样的点Q．使得以点B.点P.点C.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图（1）已知点A（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．过点A作x轴的垂线交直线y=-x于点C，若点P是直线y=-x上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA．
（1）当点P与点O重合时，如图（2）所示，求直线AB的函数解析式．
（2）在点P的运动过程中，点B也随之运动，求线段OB的最小值．
（3）点Q是坐标平面内的任意一点，请探索：是否存在这样的点Q．使得以点B、点P、点C、点Q为顶点的四边形时一个矩形？若存在请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）在图2中，延长AB交x轴于点D，解直角三角形，求出D的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，作BH⊥OP于H，取PB的中点F，连接AF、FH、OA、AH．首先证明点B在射线HB上运动，推出当OB⊥BH时，OB的值最小，最小值为OH的长；
（3）存在．如图3中，当点P与H重合时，点B、点P、点C、点Q为顶点的四边形是一个矩形．解直角三角形，求出PB的长，求出点B坐标，利用中点坐标公式即可解决问题；

解答解：（1）在图2中，延长AB交x轴于点D，

∵点A（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），BA⊥PA，
∴∠AOD=45°，∠OAD=90°，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴OD=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴点D的坐标为（4$\sqrt{3}$，0）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）、D（4$\sqrt{3}$，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=2\sqrt{3}}\\{4\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数解析式为y=-x+4$\sqrt{3}$．

（2）如图1中，作BH⊥OP于H，取PB的中点F，连接AF、FH、OA、AH．

在Rt△PAB和Rt△PBH中，∵PF=FB，
∴AF=PF=FB=FH，
∴A、P、H、B四点共圆，
∴∠AHB=∠APB=30°，∠AHP=60°，
∴点B在射线HB上运动，
∴当OB⊥BH时，OB的值最小，最小值为OH的长，
在Rt△AOH中，∵OA=2$\sqrt{6}$，∠AHO=60°，
∴OH=2$\sqrt{2}$，
∴OB的最小值为2$\sqrt{2}$．

（3）存在．
理由：如图3中，当点P与H重合时，点B、点P、点C、点Q为顶点的四边形是一个矩形．

由（2）可知H（2，-2），∵四边形PBQC是矩形，
∵A（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∴PA=$\sqrt{（2\sqrt{3}-2）^{2}+（2\sqrt{3}+2）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴PB=$\frac{PA}{cos30°}$=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，
∴B（2+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-2），
∴BC与PQ的交点D的坐标为（1+$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1），
设Q（m，n），则有$\frac{m+2}{2}$=1+$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，
∴m=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴Q（$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．