Question

16．先化简，再求值：$\frac{x-1}{{x}^{2}-9}$÷（$\frac{x}{x-3}$-$\frac{5x-1}{{x}^{2}-9}$），其中x=3tan30°+$\sqrt{2}$cos45°．

Answer 1

分析 先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再由特殊锐角三角函数值求得x的值，代入即可求得答案．

解答 解：原式=$\frac{x-1}{（x+3）（x-3）}$÷[$\frac{x（x+3）}{（x+3）（x-3）}$-$\frac{5x-1}{（x+3）（x-3）}$]
=$\frac{x-1}{（x+3）（x-3）}$÷$\frac{{x}^{2}+3x-5x+1}{（x+3）（x-3）}$
=$\frac{x-1}{（x+3）（x-3）}$•$\frac{（x+3）（x-3）}{（x-1）^{2}}$
=$\frac{1}{x-1}$，
∵x=3tan30°+$\sqrt{2}$cos45°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{3}$+1，
∴原式=$\frac{1}{\sqrt{3}+1-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查分式的化简求值和特殊锐角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．