Question

5．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm²），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 过点P作PD⊥AB于点D，分类求出点P从A→C和从C→B函数解析式，即可得到相应的函数图象．

解答 解：过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4cm的等边三角形，
则AP=2x，
当点P从A→C的过程中，AD=x，PD=$\sqrt{3}$x，如右图1所示，
则y=$\frac{1}{2}$AD•PD=$\frac{1}{2}x•\sqrt{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$，（0≤x≤2），
当点P从C→B的过程中，BD=（8-2x）×$\frac{1}{2}$=4-x，PD=$\sqrt{3}$（4-x），PC=2x-4，如右图2所示，
则△ABC边上的高是：AC•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴y=S_△ABC-S_△ACP-S_△BDP
=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}-\frac{1}{2}×（2x-4）×2\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×（4-x）×\sqrt{3}（4-x）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}+2\sqrt{3}x$（2＜x≤4），
故选B．

点评 本题考查了动点函数的图象问题，解决本题的关键是画出相应的图形，求出相应的函数解析式，明确各段对应的函数图象，利用数形结合的思想解答问题．