Question

15．给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两个勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接
AD、DC，若∠DCB=30°，求证：四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

分析 （1）根据新定义和直角梯形、矩形的性质可判断直角梯形和矩形为勾股四边形；
（2）连结CE，如图，先根据旋转的性质得BC=BE，∠CBE=60°，AC=DE，则可判断△BCE为等边三角形，得到∠BCE=60°，BC=CE，则∠DCE=90°，在Rt△DCE中，根据勾股定理得到CD²+CE²=BD²，然后利用等线段代换得到CD²+CB²=AC²，则根据新定义可得四边形ABCD是勾股四边形．

解答 （1）解：直角梯形和矩形为勾股四边形；
（2）证明：连接CE，如图，
∵△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=60°，AC=DE，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BCE=60°，BC=CE，
而∠DCB=30°，
∴∠DCE=30°+60°=90°，
在Rt△DCE中，CD²+CE²=BD²，
∴CD²+CB²=AC²，
∴四边形ABCD是勾股四边形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．