Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C 顺时针旋转90°至CE，连接AE．

（1）求证：△BCD≌△ACE；

（2）如图2，连接ED，若CD=，AE=1，求AB的长；

（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）根据旋转的性质，利用SAS即可证明△BCD≌△ACE；

（2）由（1）可知AE=BD=1，证明∠EAD=90°，在Rt△ECD和Rt△EAD中，根据勾股定理，即可求得ED和AD，进而求得AB；

（3）过C作CG⊥AB于G，则AG=AB，再证明，，即可得出，且∠CGF=∠BAE=90°，证明出△CGF∽△BAE，得出∠FCG=∠ABE，即可证得∠ABE+∠CFG=90°，即CF⊥BE．

（1）由旋转性质可得EC=DC，∠ECD=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）由（1）可知AE=BD=1，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，

∴∠EAD=90°，

∴，，

∴，

故答案为：；

（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG=AB，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴CG=AB，即，

∵点F为AD的中点，

∴FA=AD，

∴FG=AG﹣AF，

=AB﹣AD=(AB﹣AD)=BD，

由（1）可得：BD=AE，

∴FG=AE，即，

∴，

又∵∠CGF=∠BAE=90°，

∴△CGF∽△BAE，

∴∠FCG=∠ABE，

∵∠FCG+∠CFG=90°，

∴∠ABE+∠CFG=90°，

∴CF⊥BE．