Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠B的平分线交AC于点D，求证：DC+AB=BC．

Answer 1

分析 在BC上截取，BE=BA，连接DE，首先证明△ABD≌△EBD，从而求得∠DEC=72°，然后再证明△CED为等腰三角形，从而得可证得DC+AB=BC．

解答 解：如图所示，在BC上截取，BE=BA，连接DE．

∵AC平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DAE．
在△ABD和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠DAE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD．
∴∠BED=∠A=108°．
∴∠DEC=180°-108°=72°．
∵AB=AC，
∴∠C=$\frac{1}{2}×（180°-∠A）$=36°，
由三角形的内角和定理可知：∠EDC=180°-36°-72°=72°．
∴∠EDC=∠DEC=72°．
∴DC=EC．
∴DC+AB=BC．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键．