Question

8．已知，如图1，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，点E在BC边上，P为边AD上一动点，过点P作PQ⊥PE，交直线DC于点Q．
（1）当∠PEC=70°时，求∠DPQ；
（2）当∠PEC=4∠DPQ时，求∠APE；
（3）如图3，将△PDQ沿PQ翻折使点D的对应点D′落在BC边上，当∠QD′C=40°时，请直接写出∠PEC的度数，答：65°．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形两锐角互余和平角中挖去直角，余下的角互余∠APE+∠EPF=90°，计算即可；
（2）根据∠PEC=4∠DPQ求出，∠DPQ=18°，再和（1）方法一样计算；
（3）由对折的性质及∠QD′C=40°求出∠DPQ=40°，再和前面方法一样用互余计算即可．

解答 解：（1）如图，

作PF⊥BC，
∴∠PEF+∠EPF=∠APE+∠EPF=90°，
∵∠EPQ=90°，
∴∠APE+∠DPQ=90°，
∴∠EPF=∠DPQ，
∴∠PEF+∠DPQ=90°，
∵∠PEF=70°，
∴∠DPQ=20°．
（2）由（1）有，∠PEF+∠DPQ=90°，
∵∠PEC=4∠DPQ，
∴∠DPQ=18°，∠PEF=72°，
∵∠PEF+∠APE=90°，
∴∠APE=72°；
（3）∵∠C=∠D=90°，
∴∠QD′C+∠CQD′=90°，
∵∠QD′C=40°，
∴∠CQD′=50°，
由对折有，∠DQP=∠CQP，
∴∠DQP=$\frac{1}{2}$（180°-∠CQD'）=65°，
∴∠DPQ=90°-∠DQP=25°，
由（1）有，∠PEC+∠DPQ=90°，
∴∠PEC=65°．故答案为65°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形中两锐角互余，折叠的性质，利用两锐角互余是解本题的关键．