Question

【题目】如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；

（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：

①为何值时为等腰三角形；

②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

Answer 1

【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．

【解析】

（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；

（2）作NQ垂直于x轴于点Q，

①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值；

②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得xN的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为．

（1）设平移后抛物线的解析式，

将点A（8，,0）代入，得=，

所以顶点B（4,3），

所以S阴影=OCCB=12；

（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得

，解得：，

所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，

①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.

当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，

解得：

t＝12（舍去）；

当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,

故；

②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，

得点N的横坐标为XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，

由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，

又因为0＜xN＜8，

所以xN的最小值为6，此时t=3，

当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．