Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AC=3，AB=4，D为斜边BC的中点，E为AB上一个动点，将△ABC沿直线DE折叠，A，C的对应点分别为，，交BC于点F，若△BEF为直角三角形，则BE的长度为______.

Answer 1

【答案】或.

【解析】

根据∠B为锐角，分两种情况进行讨论：当∠BEF=90°时，△BEF为直角三角形；当∠BFE=90°时，△BEF为直角三角形，分别根据等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质以及直角三角形的边角关系进行计算，即可得到BE的长度．

解：分两种情况：

①如图，当∠BEF=90°时，△BEF为直角三角形，

过D作DM⊥AB于M，则∠EMD=90°，DM∥AC，

∵D为BC的中点，

∴M为AB的中点，

，

由折叠可得，，

∴△DEM是等腰直角三角形，

，

；

②如图，当∠BFE=90°时，△BEF为直角三角形，

连接AD，A'D，

根据对称性可得，∠EAD=∠EA'D，AD=A'D

∵Rt△ABC中，AC=3，AB=4，

∴BC=5，

∵Rt△ABC中，D为BC的中点，

，

∴∠B=∠EAD，

∴∠B=∠FA'D，

设BE=x，则，

，

又∵Rt△A'DF中，sin∠FA'D=sinB，即，

，

解得，

即，

综上所述，BE的长度为或.