Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（6，﹣3），对称轴是直线x＝4，顶点为B，OA与其对称轴交于点M，M、N关于点B对称．

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）联结ON、AN，求△OAN的面积；

（3）点Q在x轴上，且在直线x＝4右侧，当∠ANQ＝45°时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，点B的坐标（4，﹣4）；（2）S△OAN＝12；（3）点Q的坐标（34，0）．

【解析】

（1）根据直线x＝4和A（6，﹣3）列出方程组，求出a、b即可求出解析式，然后将x＝4代入函数解析式，求得得y＝﹣4，所以点B的坐标（4，﹣4）；

（2）连结ON、AN，先求出M（4，﹣2），由M、N关于点B对称，求出N（4，﹣6），于是MN＝4，所以S△OAN＝MN|xA|＝×4×6＝12；

（3）设对称轴直线x＝4与x轴交于点T，抛物线与x轴另一个交点为P，则P（8，0），直线AN与x轴交于点P，连接NQ，连接NA、AP，过点P作PR⊥PN，与NQ交于点R，过R作RH⊥x轴于点H．由∠PNR＝∠ANQ＝45°，则∠PRN＝45°＝∠PNR，所以PR＝PN，易证△PTN≌△RHP（AAS），则RH＝PT＝4，PH＝TN＝6，TH＝10，由HR∥TN，列出比例式求出HQ＝20，于是OQ＝OP+PH+HQ＝8+6+20＝34，所以点Q的坐标（34，0）．

（1）由题意可得

，

解得a＝，b＝﹣2，

∴抛物线的表达式y＝x2﹣2x

将x＝4代入，得y＝﹣4，

∴点B的坐标（4，﹣4）；

（2）连结ON、AN，如图1．

∵A（6，﹣3），

∴直线OA：y＝﹣x，

将x＝4代入，y＝﹣2，

∴M（4，﹣2），

∵M、N关于点B对称，B（4，﹣4），

∴N（4，﹣6），

∴MN＝4，

∴S△OAN＝MN|xA|＝×4×6＝12；

（3）设对称轴直线x＝4与x轴于点T，抛物线与x轴另一个交点为P，则P（8，0）．

∵A（6，﹣3），N（4，﹣6），

∴直线AN：y＝，

令y＝0，则x＝8，

∴直线AN与x轴交点（8，0），

即直线AN与x轴交于点P，

如图2，连接NQ，连接NA、AP，过点P作PR⊥PN，与NQ交于点R，过R作RH⊥x轴于点H．

∵∠PNR＝∠ANQ＝45°，

∴∠PRN＝45°＝∠PNR，

∴PR＝PN，

易证△PTN≌△RHP（AAS），

∴RH＝PT＝4，PH＝TN＝6，

∴TH＝10，

∴HQ＝20，

∴OQ＝OP+PH+HQ＝8+6+20＝34，

点Q的坐标（34，0）．