Question

【题目】平面内,如图,在□ABCD中,AB=10，AD=15，，点P为AD边上任意点,连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.

（1）当∠DPQ= 10°时，求∠APB的大小；

（2）当 时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；

（3）若点Q恰好落在口ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π).

Answer 1

【答案】（1）当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°；（2）；（3）PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.

【解析】

（1）根据题意画出图形分情况讨论：①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，结合题意分别求得答案.

（2） 连接BQ，作PE⊥AB于E，由已知结合题意即可求得tan∠ABP=2，在Rt△APE中，根据正切函数定义可设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，根据正切函数定义可得EB=2k，

由AB=AE+EB即可求得k值，从而可得PE=8，EB=4，在Rt△PBE中，根据勾股定理可求得PB长，由等腰直角三角形性质可求得BQ长 .

（3）分三种情形分别求解即可； ①如图，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F；在Rt△AEB中，根据正切tanA的值可求得BE=8，AE=6，从而可得PF=BE=8，根据等腰直角三角形的性质可得PF=BF=FQ=8，根据勾股定理可得PB=PQ=，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积；

②如图，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F；设PE=x，由全等三角形判定可得△PBE≌△QPF，再由正切函数定义列方程可求PE=4，在Rt△PEB中，根据勾股定理求得PB=4，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积；

③如图，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积.

（1）解：如图1中，

①当点Q在平行四边形ABCD内时,∠AP′B=180°∠Q′P′B∠Q′P′D=180°90°10°=80°

②当点Q在平行四边形ABCD外时,∠APB=180°(∠QPB∠QPD)=180°(90°10°)=100°

综上所述,当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°

（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E.

∵tan∠ABP:tanA=3:2,tanA=，

∴tan∠ABP=2，在Rt△APE中,tanA=，

设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中,tan∠ABP==2，

∴EB=2k，

∴AB=5k=10，

∴k=2，

∴PE=8，EB=4，

∴PB=，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴BQ=PB= .

（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F. 则四边形BEPF是矩形。

在Rt△AEB中,∵tanA=，

∵AB=10，∴BE=8，AE=6，

∴PF=BE=8，

∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，

∴PB=PQ=，

∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.

②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F. 设PE=x.

易证△PBE≌△QPF，

∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE+PE+PFAD=x1，∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，

∴tan∠FDQ=tanA=，

∴，

∴x=4，∴PE=4,

在Rt△PEB中,PB= ，

∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.

③如图5中，

当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，

∴PB旋转到PQ所扫过的面积=，

综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.