Question

18．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED求得阴影部分的面积．

解答 解：
（1）证明：连接DO．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴CD=AC-AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=1．
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$，
连接OE，则CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S_{直角梯形FDOE}=$\frac{1}{2}$（EF+OD）•DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_扇形OED=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_阴影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$．

点评 此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．