题目内容
16．
已知正方形ABCD，AB=8，点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t．（1）求证：OE=OF．
（2）在点E、F的运动过程中，连结AF．设线段AE、OE、OF、AF所形成的图形面积为S．
探究：①S的大小是否会随着运动时间为t的变化而变化？若会变化，试求出S与t的函数关系式；若不会变化，请说明理由．
②连结EF，当运动时间为t为何值时，△OEF的面积恰好等于的$\frac{1}{3}$S．
分析 （1）根据正方形的性质得出OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，求出AE=DF=t，根据SAS推出△EAO≌△FDO即可；
（2）①延长EO交DC于M，求出△AOE≌△COM，根据全等三角形的性质得出AE=CM=t，根据S=S四边形AEMF-S△FOM求出即可；
②根据全等得出OE=OM，求出S△EOF=$\frac{1}{2}$S△EFM=16-4t，即可得出方程16-4t=$\frac{1}{3}$×16，求出即可．
解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，
∵点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t，
∴AE=DF=t，
在△EAO和△FDO中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠EAO=∠FDO}\\{AE=DF}\end{array}\right.$
∴△EAO≌△FDO（SAS），
∴OE=OF；
（2）解：①S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化，
理由是：延长EO交DC于M，
当M在FC上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE=∠MCO=45°，OA=OC，
在△AOE和△COM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠MCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COM}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COM（ASA），
∴AE=CM=t，
∴S=S四边形AEMF-S△FOM
=$\frac{1}{2}$（t+8-t-t）•8-$\frac{1}{2}$×（8-t-t）•4
=16，
当M在FD上时，
S=△AOE+S△AOF
=S△COM+S△AOF
=$\frac{1}{2}$S△AMC+$\frac{1}{2}$S△AFC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×t×8+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（8-t）×8=16；
所以S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化；
②∵△AOE≌△COM，
∴OE=OM，
∴S△EOF=S△FOM=$\frac{1}{2}$S△EFM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-t-t）•8=16-4t，
∵△OEF的面积恰好等于的$\frac{1}{3}$S，
∴16-4t=$\frac{1}{3}$×16，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
根据对称性可知，t=$\frac{16}{3}$s时，也满足条件．
即当运动时间为t为$\frac{8}{3}$s或$\frac{16}{3}$s时，△OEF的面积恰好等于的$\frac{1}{3}$S．
点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
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| A． | 条形统计图 | B． | 折线统计图 | C． | 扇形统计图 | D． | 频数分布直方图 |
| A． | 选举中，人们通常最关心的数据是众数 | |
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| C． | 数据3、5、4、1、-2的中位数是3 | |
| D． | “打开电视机，中央一套正在播广告”是必然事件 |
| 类别 | 时间t（小时） | 人数 |
| A | t≤0.5 | 5 |
| B | 0.5＜t≤1 | m |
| C | 1＜t≤1.5 | n |
| D | 1.5＜t≤2 | 30 |
| E | t＞2 | 10 |
①请根据图表信息解答下列问题：
（1）在统计表中，m=20，n=35，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是126°；
（3）据了解该市大约有3万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数．
| A． | 3x2y2（2x-1） | B． | 3xy（2x-1） | C． | xy2（2x-1） | D． | xy（2x-1） |