Question

如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．求证：
（1）AB∥CD；   
（2）∠2+∠3=90°．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行可得答案；
（2）先根据三角形内角和定理得出∠BED=90°，再根据三角形外角的性质得出∠EDF+∠3=90°，由角平分线的定义可知∠2=∠EDF，代入得到∠2+∠3=90°．

解答：证明：（1）∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1（ 角平分线的性质）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠BDC=2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等式的性质）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．

（2）∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=180°-（∠1+∠2）=90°，
∴∠BED=∠EDF+∠3=90°，
∵∠2=∠EDF，
∴∠2+∠3=90°．

点评：此题主要考查了平行线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．