Question

19．如图，若双曲线y=$\frac{k}{x}$与斜边长为5的等腰直角△AOB的两个直角边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=2BD，则k的值为4．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=x，则OC=2x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．

解答 解：
如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设BD=x，则OC=2x，
∵Rt△OCE为等腰直角三角形，
∴∠COE=45°，
∴OE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OC=$\sqrt{2}$x，
∴则点C坐标为（$\sqrt{2}$x，$\sqrt{2}$x），
同理在等腰Rt△BDF中，BD=x，
∴BF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴OF=OB-BF=5-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
则点D的坐标为（5-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=2x²，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{1}{2}$x²，
∴2x²=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{1}{2}$x²，
解得：x₁=$\sqrt{2}$，x₂=0（舍去），
∴k=2x²=4，
故答案为：4．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．