Question

如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP=

 

cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=

 

cm时，四边形AOBP是正方形．

Answer 1

考点：切线的性质,等腰三角形的判定,菱形的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）利用切线的性质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求得．
（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．
②要使四边形AOBP是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP=

2

，所以DP=OP-1．

解答：解：（1）连接OA，AC
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°，
∴∠ACP=30°，
∵∠APO=30°
∴∠ACP=∠APO，
∴AC=AP，
∴△ACP是等腰三角形．

（2）
①DP=1，理由如下：
∵四边形AOBD是菱形，
∴OA=AD=OD，
∴∠AOP=60°，
∴OP=2OA，DP=OD．
∴DP=1，
②DP=

2

-1，理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，
∴∠AOP=45°，
∵OA=PA=1，OP=

2

，
∴DP=OP-1
∴DP=

2

-1．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．