Question

13．若直角三角形的两边a、b是方程x²-7x+12=0的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r=1或$\frac{{\sqrt{7}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出方程的解，分为两种情况：当4为直角边或4为斜边，求出第三边，代入公式内切圆半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）求出即可．

解答 解：解方程x²-7x+12=0得：x₁=3，x₂=4，
设a=3，b=4，
当b=4是直角边时，斜边为$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
该直角三角形的内切圆的半径r=$\frac{3+4-5}{2}$=1；
当b=4是斜边时，另一直角边为$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
该直角三角形的内切圆的半径r=$\frac{3+\sqrt{7}-4}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$；
故答案为：1或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理，解一元二次方程，三角形的内切圆与内心等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意：直角三角形内切圆半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）．