Question

4．如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN．那么四边形EFMN的面积的最小值是8．

Answer 1

分析 应该是正方形．可通过证明三角形AEN，DNM，MCF，FBE全等，先得出四边形ENMF是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论．

解答 解：∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF=EN=NM=MF，∠ENA=∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA=∠DMN，∠DMN+∠DNM=90°，
∴∠ENA+∠DNM=90°．
∴∠ENM=90°．
∴四边形EFMN是正方形，
∴EN最小时，正方形EFMN的面积最小，设AE=DN=x，
则EN=$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，
∴x=2时，EN的值最小，最小值=$\sqrt{8}$，
∴正方形EFMN的面积=（$\sqrt{8}$）²=8．

点评 本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．