Question

8．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．

Answer 1

分析 先根据旋转的性质得到BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，则可判断△PB P′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=$\sqrt{2}$BP=4$\sqrt{2}$，∠BP′P=45°，于是可计算出∠PP′C=90°，然后在Rt△PP′C中利用勾股定理计算PC的长．

解答 解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，
∴△PB P′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$BP=4$\sqrt{2}$，∠BP′P=45°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，
在Rt△PP′C中，PC=$\sqrt{PP{′}^{2}+P′{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6．
答：PP′和PC的长分别为4$\sqrt{2}$，6．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△PB P′是等腰直角三角形．