Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点D、E、F，
（1）求证：四边形OECF是正方形；
（2）若AF=10，BE=3，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE、OF、OD，由切线的性质得到∠OGC=∠OEC=∠C=90°，从而可证四边形OECF是矩形，然后由OE=OF，可知：四边形OECF是正方形；
（2）由切线长定理可求得AB=AF+BE=13，设圆的半径为r，则AC=10+r，BC=3+r，最后由勾股定理求列方程求解即可．

解答 解：（1）∵点E、F是圆的切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC．
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°．
∴四边形OECF是矩形．
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形．
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF=AD，BE=DB．
∴AB=AD+BD=10+3=13．
设圆O的半径为r，则AC=10+r，BC=3+r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得；AC²+BC²=AB²，即（10+r）²+（r+3）²=13²．
解得：r=2或r=-15（舍去）．
∴⊙O的面积=4π．

点评 本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、正方形的判定、勾股定理的应用，根据切线长定理和勾股定理列出关于r的方程是解题的关键．