定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)请写出除定义外的性质和判定猜想各一条.并从定义出发证明你的判定猜想．(2)筝型ABCD中.对角线AC.BD相交于点O．①如图1.若BD=CO.求tan∠BCD的值．②如图2.若∠DAC=∠BCD=72°.求AD:CD的值．(3)如图3.把△ABD沿着对角线BD翻折.A点落在对角线AC上的E点．如果△AOD中.一个内角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）请写出除定义外的性质和判定猜想各一条，并从定义出发证明你的判定猜想．
（2）筝型ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
①如图1，若BD=CO，求tan∠BCD的值．
②如图2，若∠DAC=∠BCD=72°，求AD：CD的值．
（3）如图3，把△ABD沿着对角线BD翻折，A点落在对角线AC上的E点．如果△AOD中，一个内角是另一个内角的2倍，且阴影部分图形的面积等于四边形ABED的面积，直接写出$\frac{AD}{CD}$的值．

分析（1）根据筝形的定义可得性质：①筝形有一组对角相等；②筝形有一条对角线垂直平分另一条对角线；③筝形有一条对角线平分一组对角．判定：①有一条对角线垂直平一条对角线的四边形是筝形；②有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．根据定义得到AD=AB，CD=CB，证明∠ADC=∠ABC，有全等三角形即可得到结论，判定②如图1，已A是四边形ABCD的对角线，AC平分∠DAB和∠DCB，证明四边形ABCD是筝形，通过△ADC≌△ABC，即可证得结论；
（2）①设OC=2OD=2OB=a，则CD=BD=$\sqrt{5}$a，由S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•CBsin∠BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD，得到方程$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$a）²sin∠BCD=$\frac{1}{2}$×2a×2a，可得sin∠BCD=$\frac{4}{5}$，即tan∠BCD=$\frac{4}{3}$；
②如图2，作∠BDC的平分线交AC于点E由于∠BCD=72°，得到∠2=$\frac{1}{2}$∠BCD=36°，由∠DAC=72°，得到∠ADC=72°，∠1=36推出△DAE∽△CDA得到比例式$\frac{AD}{AE}=\frac{DC}{DA}$，DC=AC，AE=AC-CE=CD-AD结论可得；
（3）如果△AOD中，一个内角是另一个内角的2倍，分三种情况：①当∠AOD=2∠DAO，由折叠的性质得DB⊥AE，AO=OE，得到三角形AOD是等腰直角三角形，由阴影部分图形的面积等于四边形ABED的面积，得到AE=CE，OC=3AO=3OD，由勾股定理得到CD=$\sqrt{{OD}^{2}+（3OD）^{2}}$=$\sqrt{10}OD$，求得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}OD}{\sqrt{10}OD}$=1：$\sqrt{5}$，②当∠DAO=2∠ADO，求得∠DAO=60°，∠AD0=30°，得到AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OD，AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}OD$，由于AE=CE，OC=3AO=$\sqrt{3}$OD，由勾股定理得到CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=2OD，于是得到结论$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}OD}{2OD}$=1：$\sqrt{3}$，③当∠ADO=2∠DAO，得到∠ADO=60°，∠DAO=30°，于是得到AD=2OD，AO=$\sqrt{3}$OD，由于AE=CE，OC=3AO=3$\sqrt{3}$OD，由勾股定理得到CD=$\sqrt{O{D}^{2}++O{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$OD，于是得到结论$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2OD}{2\sqrt{7}OD}$=1：$\sqrt{7}$，

解答解：（1）性质：①筝形有一组对角相等；
②筝形有一条对角线垂直平分另一条对角线；
③筝形有一条对角线平分一组对角．
判定：①有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；
②有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．
证明如下：性质①如图1，已知AD=AB，CD=CB，求证：∠ADC=∠ABC，
证明：在△ADC与△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{CD=BC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠ADC=∠ABC；
判定②如图1，已知AC是四边形ABCD的对角线，AC平分∠DAB和∠DCB，求证：四边形ABCD是筝形，
证明：∵AC平分∠DAB和∠DCB，
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
在△ADC与△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BAC}\\{AC=AC}\\{∠DCA=∠BCA}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC，
∴AD=AB，BC=CD，
∴四边形ABCD是筝形．

（2）①设OC=2OD=2OB=a，则CD=BD=$\sqrt{5}$a，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•CBsin∠BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD，
∴$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$a）²sin∠BCD=$\frac{1}{2}$×2a×2a，
可得：sin∠BCD=$\frac{4}{5}$，即tan∠BCD=$\frac{4}{3}$，
②如图2，作∠BDC的平分线交AC于点E．
∵∠BCD=72°，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠BCD=36°，
∵∠DAC=72°，
∴∠ADC=72°，∠1=36°
∴△DAE∽△CDA
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DC}{DA}$，DC=AC，AE=AC-CE=CD-AD
即：$\frac{AD}{CD-AD}=\frac{CD}{AD}$，
去分母得：AD²+CD•AD-CD²=0，
解得$AD=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}CD$，$AD=\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}CD$（舍去），
∴AD：CD=$\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$；

（3）∵如果△AOD中，一个内角是另一个内角的2倍，
①当∠AOD=2∠DAO，
由折叠的性质得DB⊥AE，AO=OE，
∴∠DAO=45°，
∴AD=$\sqrt{2}$OD，AO=OD
∵阴影部分图形的面积等于四边形ABED的面积，
∴AE=CE，OC=3AO=3OD，
∴CD=$\sqrt{{OD}^{2}+（3OD）^{2}}$=$\sqrt{10}OD$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}OD}{\sqrt{10}OD}$=1：$\sqrt{5}$，
②当∠DAO=2∠ADO，
∴∠DAO=60°，∠AD0=30°，
∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OD，AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}OD$，
∵AE=CE，OC=3AO=$\sqrt{3}$OD，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=2OD，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}OD}{2OD}$=1：$\sqrt{3}$，
③当∠ADO=2∠DAO，
∴∠ADO=60°，∠DAO=30°，
∴AD=2OD，AO=$\sqrt{3}$OD，
∵AE=CE，OC=3AO=3$\sqrt{3}$OD，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}++O{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$OD，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2OD}{2\sqrt{7}OD}$=1：$\sqrt{7}$，
综上所述：如果△AOD中，一个内角是另一个内角的2倍，且阴影部分图形的面积等于四边形ABED的面积，$\frac{AD}{CD}$的值为：1：$\sqrt{5}$，1：$\sqrt{3}$，1：$\sqrt{7}$．