Question

14．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=2∠B．
（1）求sinB+tanA-6tanB+$\sqrt{3}$sinA的值；
（2）如果AB=8，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠A+∠B=90°，由已知条件得到∠A=60°，∠B=30°，代入代数式即可得到结论；
（2）在Rt△ABC中，根据三角函数求得AC=4，BC=4$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=2∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴sinB+tanA-6tanB+$\sqrt{3}$sinA=$\frac{1}{2}$$+\sqrt{3}$-6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2-$\sqrt{3}$；

（2）∵AB=8，
∴AC=AB•sinB=8×sin30°=4，BC=AB•cosB=8×cos30°=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=8+4+4$\sqrt{3}$=12+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，求特殊角的三角函数，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．