Question

5．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，$\widehat{AB}=2\widehat{AD}$=6$\widehat{AC}$，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 2+2$\sqrt{7}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，由AB是⊙O的直径，$\widehat{AB}=2\widehat{AD}$=6$\widehat{AC}$，求得$\widehat{AC}=\frac{1}{2}\widehat{CD}$，根据轴对称的性质得到$\widehat{AC}=\widehat{AC′}$，于是得到$\widehat{C′C}=\widehat{CD}$，根据垂径定理得到OC⊥C′D，C′D=2DN，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，$\widehat{AB}=2\widehat{AD}$=6$\widehat{AC}$，
∴$\widehat{AC}=\frac{1}{2}\widehat{CD}$，
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC′}$，
∴$\widehat{C′C}=\widehat{CD}$，
∴OC⊥C′D，C′D=2DN，
∴∠COD=60°，∴∠D=30°，
∵AB=8，
∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2$\sqrt{3}$，
∴C′D=4$\sqrt{3}$．
∴CM+DM的最小值=4$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于C′D是解题的关键．