Question

20．若互不相等的实数a，b，c满足a+$\frac{2}{b+c}$=c+$\frac{2}{c+a}$，及b+$\frac{2}{c+a}$=a+$\frac{2}{a+b}$，则（a+b）（b+c）（c+a）等于（　　）

• A． 1
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． ±1
• D． $±2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意可以对题目中的式子变形，从而可以求得题目中所求式子的值，本题得以解决．

解答 解：∵a+$\frac{2}{b+c}$=c+$\frac{2}{c+a}$，b+$\frac{2}{c+a}$=a+$\frac{2}{a+b}$，
∴a+b+$\frac{2}{b+c}$=c+b+$\frac{2}{c+a}$，b+c+$\frac{2}{c+a}$=a+c+$\frac{2}{a+b}$，
设a+b=x，b+c=y，a+c=z，
则x+$\frac{2}{y}$=y+$\frac{2}{z}$=z+$\frac{2}{x}$，
∴x-y=$\frac{2（y-z）}{yz}$，
y-z=$\frac{2（z-x）}{xz}$，
x-z=$\frac{2（y-x）}{xy}$，
∴（x-y）（y-z）（x-z）=$\frac{8（x-y）（y-z）（x-z）}{（xyz）^{2}}$，
∵a，b，c是互不相等的实数，
∴x、y、z也不相等，
∴$\frac{8}{（xyz）^{2}}=1$，
解得，xyz=$±2\sqrt{2}$，
即（a+b）（b+c）（a+c）的值是$±2\sqrt{2}$，
故选D．

点评 本题考查分式的加减，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．