Question

13．观察下列各式：
第一式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；
第二式：$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
第三式：$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式：$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）求和：$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…\frac{1}{（x+2015）（x+2016）}$；
（3）已知a²-6a+9与|b-1|互为相反数，求$\frac{b}{a（a+1）}+\frac{b}{（a+1）（a+2）}+…+\frac{b}{（a+9）（a+10）}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据给出的例子找出规律即可；
（2）根据（1）中的规律直接计算即可；
（3）先根据相反数的定义求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．

解答 解：（1）∵第一式$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，第二式$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，第三式$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
∴第n式$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+…+$\frac{1}{x+2015}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{x+2016}{x（x+2016）}$-$\frac{x}{x（x+2016）}$
=$\frac{2016}{x（x+2016）}$；

（3）∵a²-6a+9与|b-1|互为相反数，
∴a²-6a+9+|b-1|=0，即（a-3）²+|b-1|=0，
∴a=3，b=1，
∴原式=$\frac{1}{3×（3+1）}$+$\frac{1}{（3+1）（3+2）}$+…+$\frac{1}{（3+9）（3+10）}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{13}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{13}$
=$\frac{10}{39}$．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．