Question

5．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接得到四边形A₁B₁C₁D₁，再取各边中点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，依此类推，这样得到四边形A₅B₅C₅D₅，则四边形A₅B₅C₅D₅的周长为3．

Answer 1

分析 首先证明四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，求出其周长，再根据规律同理可证四边形A₃B₃C₃D₃是矩形，周长为6，四边形A₅B₅C₅D₅是矩形，周长为3．

解答 解：∵点A₁，D₁分别是AB、AD的中点，
∴A₁D₁是△ABD的中位线
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=$\frac{1}{2}$BD，
同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BD
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=$\frac{1}{2}$BD，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，
∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°
∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∵A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC=4，A₁D₁=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴四边形A₁B₁C₁D₁的周长为12．
同理可证四边形A₃B₃C₃D₃是矩形，周长为6，四边形A₅B₅C₅D₅是矩形，周长为3．
故答案为3．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．