Question

4．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论
（1）△AOD≌△COE；（2）OE=OD；（3）△EOP∽△CDP．
其中正确的结论是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质，以及直角三角形斜边中线定理首先证明△AOD≌△COE（ASA），推出OE=OD，∠OED=∠PCD=45°即可解决问题．

解答 解：∵在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，
∴∠A=∠B=∠ACO=45°，OA=OC=OB，∠AOC=90°=∠DOE，
∴∠AOD=∠COE=90°-∠DOC，
在△AOD与△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，故①②正确，
∵∠EOD=90°，
∴∠OED=45°，
∵∠ACB=90°，BC=AC，OB=OA，
∴∠PCD=∠PCE=45°，
∴∠OEP=∠DCP，∵∠EPO=∠CPD，
∴△△EOP∽△CDP，故③正确，
故选D．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，以及三角形相似的条件，属于基础题，中考常考题型．