Question

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则EF的最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 先证明四边形EPFC是矩形，得出EF=CP，再过C作CD⊥AB于D，当EF=DC时最短，然后由面积求出DC即为EF的最小值．

解答 解：连接CP，如图所示：
∵∠ACB=90°，$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，AB=10，
∴AC=8，BC=6，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EF=CP，
即EF表示C与边AB上任意一点的距离，
根据垂线段最短，
过C作CD⊥AB于D，
当EF=DC时最短，
根据三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$AB×CD，
∴CD=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形面积的计算；证明四边形EPFC是矩形得出EF=CP和由垂线段最短得出EF=DC是解决问题的关键．