Question

19．如图，已知在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，CA上，且CD=AE，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q
（1）证明：∠CAD=∠EBA；
（2）求$\frac{QB}{PB}$的比值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形ABC为等边三角形，得到三条边和三个角相等，又根据CD=AE，利用SAS的方法得到△ACD与△ABE，根据全等三角形的对应角相等得到∠CAD等于∠EAB，
（2）又∠CAD加∠DAB等于60°，所以利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，得到∠BPQ等于60°，又BQ与AD垂直，根据特殊角的三角函数即可求出所求的比值．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠CAB=60°，
在△ADC和△BEA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠C=∠CAB}\\{CD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EBA（SAS），
∴∠CAD=∠EBA；
（2）由（1）得∠CAD=∠EBA，
又∠CAD+∠DAB=60°，
∴∠QPB=∠DAB+∠ABE=60°，
又BQ⊥AD，
∴△BPQ是直角三角形，
∴$\frac{QB}{PB}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了等边三角形的性质及全等的证明方法，考查了三角形的外角定理及特殊角的三角函数值，属于常考题型．