Question

12．如图，已知AB为⊙O的直径，BC是弦，过C点的切线CE与弦BD的延长线相交于点E，且CE⊥BE，求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$．

Answer 1

分析 作半径OC、OD，根据切线性质得：OC⊥CE，则OC∥BE，根据平行线的性质得同位角相等和内错角相等，再由同圆的半径相等，证得所对的角相等，则∠AOC=∠COD，从而$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$．

解答 证明：连接OC、OD，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥BE，
∴OC∥BE，
∴∠AOC=∠ABE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠ABE=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$．

点评 本题考查了切线的性质和与圆的关系的圆心角、弦、弧的性质，明确圆的切线垂直于过切点的半径，经常运用：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．在圆的证明题中，常作的辅助线有：①作半径，如本题，②作直径，③作弦心距等；