Question

如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）设直线ED分别交OA、OB的延长线于点M和点N，试问线段ME、ED、DN之间有什么数量关系，并说明理由；
（3）若BC=1，则△DOE的面积=

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理,垂径定理,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）连接AB，如图1，由垂径定理可得D、E分别为BC、AC的中点，然后根据三角形中位线定理可得DE∥AB，ED=

1

2

AB，只需利用勾股定理求出AB的长，就可求出DE的长．
（2）连接OC并延长到点G，使得OG=OM，连接AB，如图2．由DE∥AB可证到∠M=∠N=45°，从而有OG=OM=ON．由OE垂直平分AC可以证到∠AOE=∠COE，从而可以证到△OEM≌△OEG，就可得到ME=GE，∠M=∠EGO；同理可得：DN=DG，∠N=∠DGO．就可证到∠EGD=90°．根据勾股定理可得DE²=EG²+DG²，则有DE²=ME²+DN²．
（3）过点D作DH⊥OE于H，连接OC，如图3，易得∠DOE=45°，OD=

15

2

．在Rt△OHD中可求出DH、OH的长，在Rt△DHE中可求出HE的长，就可求出△DOE的面积．

解答：解：（1）连接AB，如图1．
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=

OA2+OB2

=2

2

．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=EC．
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB=

2

．
∴线段DE的长为

2

．

（2）ED²=ME²+DN²．
证明：连接OC并延长到点G，使得OG=OM，连接AB，如图2．
∵DE∥AB（已证），
∴∠M=∠OAB=45°，∠N=∠OBA=45°．
∴∠M=∠N=45°．
∴OM=ON．
∴OM=ON=OG．
∵OE垂直平分AC，
∴OA=OC．
∴∠AOE=∠COE．
同理可得：∠COD=∠BOD．
在△OEM与△OEG中，

OM=OG ∠MOE=∠GOE OE=OE

．
∴△OEM≌△OEG．
∴ME=GE，∠M=∠EGO．
同理可得：DN=DG，∠N=∠DGO．
∴∠EGD=∠EG0+∠DGO=∠M+∠N=45°+45°=90°．
∴DE²=EG²+DG²．
∴DE²=ME²+DN²．

（3）过点D作DH⊥OE于H，连接OC，如图3，
则有∠AOE=∠COE，∠COD=∠BOD（已证）．
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=

1

2

（∠COD+∠BOD+∠AOE+∠COE）
=

1

2

∠AOB=45°．
∵∠ODB=90°，OB=2，BD=

1

2

BC=

1

2

，
∴OD=

OB2-BD2

=

15

2

．
在Rt△OHD中，
DH=OD•sin∠DOH=

15

2

×

2

2

=

30

4

，
OH=OD•cos∠DOH=

15

2

×

2

2

=

30

4

．
在Rt△DHE中，
HE=

DE2-DH2

=

( 2 )2-( 30 4 )2

=

2

4

．
∴S_△DOE=

1

2

OE•DH
=

1

2

×（

15

4

+

2

4

）×

15

4

=

15+ 30

32

．
故答案为：

15+ 30

32

．

点评：本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、三角函数、勾股定理、平行线的性质等知识，有一定的综合性，而通过构造全等三角形，将ME、ED、DN三条线段归结到同一个三角形中是解决第（2）小题的关键．