Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，求x为何值时 y=1？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；
（2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式，进而求出x的值．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

AN

AC

，即

x

4

=

AN

3

；
∴AN=

3

4

x；
∴S=S_△MNP=S_△AMN=

1

2

•

3

4

x•x=

3

8

x²．（0＜x＜4）

（2）如答题图1，

设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=

1

2

MN．
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴

AM

AB

=

AO

AP

=

1

2

，即

x

4

=

MN

5

，
∴MN=

5

4

x
∴OD=

5

8

x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=

5

8

x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴

BM

BC

=

QM

AC

，
∴BM=

5× 5 8 x

3

=

25

24

x，AB=BM+MA=

25

24

x+x=4
∴x=

96

49

，
故当x=

96

49

时，⊙O与直线BC相切；，

（3）如答题图2，随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．

∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴

AM

AB

=

AO

AP

=

1

2

，
∵AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，y=S_△PMN=

3

8

x²，
∴当y=1时，x=

2 6

3

或x=-

2 6

3

（不合题意舍去），
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴（

PF

AB

）²=

S△PEF

S△ABC

，
∴S_△PEF=

3

2

（x-2）²；
y=S_△MNP-S_△PEF=

3

8

x²-

3

2

（x-2）²=-

9

8

x²+6x-6，
当2＜x＜4时，y=-

9

8

x²+6x-6，
∴当y=1时，x₁=

8+2 2

3

，x₂=

8-2 2

3

（不合题意舍去），
综上所述，当x的值是

2 6

3

或

8+2 2

3

时，y的值为1．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用，要注意（3）中要根据P点的位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．